Matlab 自相关分析实现

matlab中有函数xcorr可完成相关性分析，本文为加深理解，采用快速傅里叶变换进行了一次实现。

自相关分析实现

分析原理

工程上对信号相似程度的研究,可以使用以下公式进行分析。

$R_{xy}(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty}{ x(t)y(t+\tau)}dx$

利用时域上的卷积等于频域的乘积则有

$x(n)\stackrel{FFT}{\longrightarrow}X(k) \\ y(n)\stackrel{FFT}{\longrightarrow}Y(k)$

$\begin{aligned} R_{xy}(k) &= X(k)\overline{Y}(k) \\ \Rightarrow R_{xy}(n) &= R_{xy}(k) \stackrel{IFFT}{\longrightarrow}R_{xy}(n) \end{aligned}$

FFT 计算引入周期延拓问题，为了避免重叠失真，补等宽的零，导致另外一个问题，相关系数越来越小，以零值为中心向两边衰减。

通过将每个信号除以偏移长度，可以得到一个无衰减的结果。

程序实现

由于时间原因未能编写出无偏修正的算法,以下为FFT实现的相关性分析程序

function Rxy = xcorrfuction(datax,varargin)
   p = inputParser;%创建一个对象
   %必填参数判断
   p.addRequired('datax',@(x)validateattributes( x,{'numeric'},{'nonempty'}));
   %可选参数判断
   p.addOptional('datay',datax,@(x)validateattributes(x,{'numeric'},{'nonempty'}));
   %无序选项判断 
   p.addParameter('option','biased',@(x)any(validatestring(x,'biased','unbiased'})));
   %将参数传入
   p.parse(datax,varargin{:});
    
    %下面开始计算
    N1=length(p.Results.datax); 
    N2=length(p.Results.datay); 
    x1 = [p.Results.datax zeros(1,N1)]; 
    y1 = [p.Results.datay zeros(1,N2)]; 
    Rxy2 = ifft(fft(x1).*conj(fft(y1))); 
    Rxy = fftshift(Rxy2); 
   
    %选择无偏
    if (strcmp(p.Results.option , 'unbiased'))
    N = length(Rxy)/2;
        for i = 1:N
        Rl(i) = Rxy(i)/i;
        Rr(i) = Rxy(i+N)/(N+1-i);
        
        end
    Rxy = [Rl Rr];
    end
        
end
 %x = xcorrfuction([1,2,3],'biased');

实现效果

自相关分析效果

互相关效果